段CA、AB上,K、L、M分别是BP、CQ、PQ的中点,圆Г过K、L、M并且与PQ相切。证明:OP=OQ。”
秦元清这一题审题完成,倒是觉得这一题比上一题容易一些,没有设陷阱。先是做了一个圆,然后化作△ABC,然后又作出CA、AB线段以及P、Q二点,然后标出BP、CQ、PQ的中点K、L、M。最后作出圆Г。
随后以直线PQ与圆Г相切,相切点M,然后通过弦切角定理得出∠QMK=∠MLK。由于点K、M分别是BP、PQ的中点,所以KM∥BQ,从而得出∠QMK=∠AQP。
因此得到∠MLK=∠AQP。
同理,∠MKL=∠APQ。
根据角的相等,得到△MKL∽△APO,从而得到MK/ML=AP/AQ
因为K、L、M分别是线段BP、CQ、PQ的中点,所以得到KM=BQ/2,LM=CP/2,将此带入上式得BQ/CP=AP/AQ,将式子转为AP·CP=AQ·BQ。通过圆幂定理知OP2=OA2-AP·CP=OA2-AQ·BQ=OQ2
所以,得出结论OP=OQ。
秦元清连检查都没有检查,将抽向的数学问题转为图像,这个是他擅长的地方,他有十全的把握证明。
紧接着秦元清看向第三题,“3、S1,S2,S3,......是严格递增的正整数数列,并且它的子数列SS1、SS2、SS3,.....和SS1+1,SS2+1,SS3+1......都是等差数列。证明:S1,S2,S3......是一个等差数列。”
看着这一题,秦元清微皱起眉头,这一题明显比前面两道题难得多,秦元清将已知条件稍微捋了一下,这一道题融合了等差数列、以及转换法。
秦元清一步一步地展开,通过数列以及子数列都是严格的递增的正整数数列,设Ssk=a+(k-1)d1,SSk+1=b+(k-1)d2(k=1,2......,a、b、d1、d2∈N+)。
将问题转为函数、数列后,以Sk<Sk+1<Sk+1及{Sn}的单调性,知对任意的正整数k,有SSk<Ssk+1≤SSk+1。即a+(k-1)d1<b+(k-1)d2≤a+kd1
因此a-b≤(k-1)(d2-d1)≤a+d1-b。由k的任意性知d2-d1=